De brug van Dorkwerd

In april 2016 is een 80 jaar oude hefbrug in Dorkwerd vervangen door een nieuwe. Dit in het kader van het verbeteren van de vaarroute Delfzijl-Lemmer. Het ontwerp van deze brug is heel bijzonder en voor jullie ook een heel mooi voorbeeld waar je parabolen en functievoorschriften voor kunt gebruiken. Alles wat we nu hierover geleerd hebben kunnen we gebruiken om het volgende vraagstuk op te lossen. Omwille van de antwoorden zijn de gegeven waarden voor de afmetingen niet de echte waarden van de brug, maar dat doet aan de uitwerking en de opgave niets af. Bedenk dat de ontwerper van deze brug waarschijnlijk de computer heeft laten berekenen wat het antwoord moet zijn.

De brug bestaat uit 2 gespiegelde en symmetrische parabolen. De afstand tussen de punten, waar de zwarte parabool het wegdek snijdt, is 40 meter. Het hoogste punt van de brug is 4 meter.
Gevraagd zijn de functievoorschriften van de beide parabolen en de snijpunten van de parabolen met elkaar?

De uitwerking

We weten de volgende zaken:

  1. Het zijn symmetrische parabolen van elkaar,
  2. We kennen de afstand tussen de nulpunten van de zwarte parabool, namelijk: 40 meter,
  3. We kennen de top en daarmee de x- en de y-coördinaat, namelijk: 
  4. We kennen de algemene formule voor een parabool, namelijk: 
  5. We kennen de formule voor het hoogtepunt, namelijk: 
  6. We weten, om de snijpunten van de parabolen met elkaar te vinden, de beide functies gelijk aan elkaar moeten zijn.

Vanwege de symmetrie kunnen we ons assenstelsel zo gaan verschuiven zodat we de top op x=0 krijgen, waarbij we nu een top hebben op (0,4). Dit betekend ook dat we de nulpunten nu gaan krijgen op (-20,0) en (20,0). We hebben nu de aanwijzingen 1, 2 en 3 gebruikt.

We gaan nu verder met het zoeken naar de waarden van a, b en c voor de algemene formule van aanwijzing 4 en daarvoor gebruiken we aanwijzing 5. We kennen immers de top op (0,4) dus kunnen we een waarde voor a of b vinden via

Deze kennis geeft dus al een eerste voorlopige algemene vergelijking voor ‘onze’ te zoeken parabool, namelijk:

Door het verschuiven van het assenstelsel hebben we het ons lekker gemakkelijk gemaakt want de top zit nu op (0,4). Gaan we dit invullen onze voorlopige algemene formule dan krijgen we:

En dit geeft weer een nieuwe algemene formule:

We kennen de beide nulpunten op (-20,0) en (20,0) en deze kunnen we nu gaan invullen in onze laatste algemene formule en dat geeft dan:

En dit is dus de functie voor de zwarte parabool. De witte is gelijk aan de zwarte maar gespiegeld. En dus kunnen we deze parabool spiegelen om de x-as maar daarmee komt de top 4 meter onder de brug te liggen en dus moet deze 4 meter omhoog. Als we dit uitwerken krijgen we:

De beide gezochte functievoorschriften zijn:

Nu Deel 2 van deze opgave, de snijpunten van deze parabolen. Hiervoor moeten de beide functies gelijk aan elkaar zijn (6). Dus:

Dus de snijpunten van de parabolen zitten op (-14.1,2) en (14.1,2).